 $$ g\left(x\right)=\frac{e^{x}}{\ln\left(k\cdot x\right)}\text{ }x\in R $$
bestem k slik at den har bunnpunkt i x = e

Vi har funksjonen:

\[
g(x) = \frac{e^x}{\ln(k \cdot x)} \quad \text{hvor} \quad x \in \mathbb{R}.
\]

Vi skal finne verdien av $k$ slik at $g(x)$ har et bunnpunkt i $x = e$. Et bunnpunkt oppstår der den deriverte $g'(x)$ er lik null, altså:

\[
g'(e) = 0.
\]

### Steg 1: Deriver funksjonen
For å finne den deriverte av $g(x)$, bruker vi kvotientregelen:

\[
\left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{v(x)^2},
\]

der $u(x) = e^x$ og $v(x) = \ln(k \cdot x)$. 

La oss begynne med å finne de nødvendige deriverte:

- $ u'(x) = e^x $
- $ v(x) = \ln(k \cdot x) \quad \Rightarrow \quad v'(x) = \frac{d}{dx} \ln(k \cdot x) = \frac{1}{k \cdot x} \cdot k = \frac{1}{x} $

Dermed blir den deriverte av $g(x)$:

\[
g'(x) = \frac{e^x \cdot \ln(k \cdot x) - e^x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln(k \cdot x))^2}.
\]

### Steg 2: Sett $x = e$ i den deriverte
For at $g(x)$ skal ha et bunnpunkt ved $x = e$, må $g'(e) = 0$. Vi setter inn $x = e$ i den deriverte:

\[
g'(e) = \frac{e^e \cdot \ln(k \cdot e) - e^e \cdot \frac{1}{e}}{(\ln(k \cdot e))^2}.
\]

For at $g'(e) = 0$, må tellerens uttrykk være null:

\[
e^e \cdot \ln(k \cdot e) - e^e \cdot \frac{1}{e} = 0.
\]

Vi kan dele begge sider av likningen med $e^e$ (som er forskjellig fra null), og forenkle:

\[
\ln(k \cdot e) - \frac{1}{e} = 0.
\]

Dette gir oss:

\[
\ln(k \cdot e) = \frac{1}{e}.
\]

### Steg 3: Løs for $k$
Vi kan nå løse for $k$:

\[
k \cdot e = e^{\frac{1}{e}},
\]

\[
k = \frac{e^{\frac{1}{e}}}{e}.
\]

Så, verdien av $k$ som gir et bunnpunkt i $x = e$ er:

\[
k = e^{\frac{1}{e} - 1}.
\]

### Svar:
Verdien av $k$ som gir et bunnpunkt i $x = e$ er:

\[
k = e^{\frac{1}{e} - 1}.
\]

Har du noen spørsmål eller ønsker du ytterligere detaljer? Her er fem spørsmål relatert til emnet:

1. Hvordan finner man maksimum og minimum for en funksjon ved hjelp av den andrederiverte?
2. Hva er den praktiske betydningen av et bunnpunkt i en matematisk modell?
3. Hvordan kan vi bruke kvotientregelen til å derivere mer komplekse funksjoner?
4. Hva skjer med funksjonen $g(x)$ når $k$ endres?
5. Hvordan kan man bruke den deriverte til å finne skjæringspunkter med aksene?

**Tips:** Husk at for å finne ekstrempunktene til en funksjon, kan det være nyttig å bruke både den første og andre deriverte.

bestem k slik at den har bunnpunkt i x = e

Learn how to determine the value of k that results in a local minimum at x = e for the function g(x) = e^x / ln(k * x). The solution involves differentiation, the quotient rule, and solving for k using logarithmic and exponential properties. Suitable for students in advanced high school or university calculus courses.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation